ÁLGEBRA

PRODUCTOS NOTABLES

Son productos cuyo resultado se obtiene sin necesidad de efectuar la operación de multiplicar siendo suficiente aprenderse de memoria su desarrollo clásico.
Antes de comenzar a estudiarlos recordamos que para multiplicar términos semejantes se suman los exponentes:

Los factores pueden ser binomios:

Cada factor ( X + Y )  es una potencia de base ( X + Y )  y su exponente es 1. Para multiplicar ambos factores, se suman los exponentes.

Sin hacer la multiplicación escribe el resultado de:

Respuesta: 

Sin hacer la multiplicación escribe la respuesta de: 

Respuesta:       

 Solución:
El cuadrado de la suma de dos números es igual a:

Cuadrado del primer término: 
Más dos veces el primer término:  2 x 2a = 4a por el segundo término:
                                                 4a x b = 4ab
Más cuadrado del segundo término: cuadrado de 
El resultado será 

De otro modo:    

 Calcula de memoria 

Respuesta: 

  Calcula de memoria 

Respuesta: 

  Calcula de memoria 

Respuesta: 

  Calcula de memoria 

Respuesta: 

 Calcula de memoria 

Respuesta:

   Calcula de memoria: 

Respuesta:

Pasamos a estudiar el segundo producto notable.
2. Cuadrado de la diferencia de dos números:

Como habrás notado hay una pequeña variación, cambia el signo del término correspondiente a: “ … menos dos veces el primer término por el segundo”
 Escribe el desarrollo de:

Respuestas:

3.- El tercer producto notable trata de la suma de dos números por su diferencia  (a + b)(a – b) es igual a la diferencia de sus cuadrados, o, cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término:

Como el orden de los factores no altera el resultado del producto, es igual decir: suma por diferencia que diferencia por la suma.

  ¿Cuánto vale:

Respuestas:

Las funciones algebraicas

son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica, siendo a la vez una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios.

Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se adquiere combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales a partir de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces. Entonces en las funciones explicitas es posible obtener las imágenes de x por sustitución:

f(x) = 5x – 2

Por otro lado en las funciones implícitas no es posible obtener las imágenes de x por simple sustitución, por lo cual es necesario efectuar operaciones:

5x – y – 2 = 0

Dentro de las funciones algebraicas podemos nombrar a las funciones polinómicas. Dichas funciones tienen una gran aplicación en la preparación de modelos que representan fenómenos reales, tales como la distancia recorrida por un móvil a velocidad constante, la compra de cierta cantidad de objetos a un precio unitario, el salario de un trabajador más su comisión, etc. Etc. La regla de correspondencia de la función polinómica es un polinomio. Si el grado de un polinomio es el exponente mayor de la variable, podemos hablar de una función polinómica de grado n.

Llamamos a una función polinómica de grado n, si tiene la forma :

en donde n es un entero positivo.

La función constante se define por medio de la expresión:

F(x)= K

En esta función, k es un número real diferente de cero.

Las funciones polinómicas de primer grado e darían como:

f(x) = mx +n

Su gráfica sería una recta oblicua, que quedaría definida por dos puntos de la función. A este tipo de función corresponderían los tipos de funciones como, función afín, función lineal y función identidad.

La función afín es del tipo:

y = mx + n

m sería la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Veamos un ejemplo:

La función lineal corresponde a un polinomio de primer grado cuyo contradominio coincide con el dominio, o sea con R. Su gráfica sería una línea recta donde m representa la pendiente de ella, y k representa el punto donde ésta se intersecta con el eje y”. La función lineal se definiría entonces como una expresión de la forma:

F(x)=mx+k

La función identidad tiene como propiedad, que a cada argumento x del dominio le es correspondiente el mismo valor en el contradominio, por lo cual este sería R”. La gráfica de esta función es la recta que pasa por el origen y posee un ángulo de inclinación de 45°. Observemos:

Las Funciones cuadráticas son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. Tienen la forma:

La función cúbica se define como polinomio de tercer grado y tiene la siguiente forma:

Las funciones a trozos son funciones que se definen por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. Dentro de estas funciones encontraríamos lo que sería la función en valor absoluto, la función parte entera de x, la función mantisa y la función signo.

En las funciones racionales el criterio viene dado por un cociente entre polinomio:

El dominio está formado por todos los números reales, a excepción de los valores de x los cuales anulan el denominador.

No siempre se puede hacer uso de las funciones del tipo algebraico, por esta razón se han desarrollado otro tipo de funciones, las funciones trascendentes, las cuales se pueden clasificar en: las trigonométricas y sus inversas y las logarítmicas y exponenciales. Una función trascendente es entonces aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes serían los siguientes: